मान लीजिए $a = \min \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ और $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. तो $\sum_{r=0}^n a^r b^{n-r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $0$ या $1$ तत्वों वाले $2$nd क्रम के सारणिक को सभी ऐसे सारणिकों के समुच्चय से चुना जाता है,तो चुने गए सारणिक के शून्य न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

माना न्यूनतम $m$ $(m \in Z^+)$ एक वर्ग आव्यूह $A$ की घात के रूप में परिभाषित है ताकि $A^m = I$ हो। यदि $A^5 = I$ और $ABA^{-1} = B^2$ है,तो आव्यूह $B$ की घात $k$ जिसके लिए $B^k = I$ हो,किसके बीच है?

मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $tr(A)$ को $A$ की विकर्ण प्रविष्टियों का योग कहें। मान लीजिए $A^2 = I$ है।
कथन-$1$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ है।
कथन-$2$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $tr(A) \neq 0$ है।

मान लीजिए $A$ उन सभी $3 \times 3$ आव्यूहों का समुच्चय है जिनके अवयव केवल $0$ या $1$ हैं। मान लीजिए $B$,$A$ का वह उपसमुच्चय है जिसमें वे सभी आव्यूह हैं जिनका सारणिक मान $1$ है। मान लीजिए $C$,$A$ का वह उपसमुच्चय है जिसमें वे सभी आव्यूह हैं जिनका सारणिक मान $-1$ है। तो:

$2 \times 2$ क्रम के उन सिंगुलर आव्यूहों की संख्या क्या है,जिनके अवयव समुच्चय $\{2, 3, 6, 9\}$ से लिए गए हैं?